Question

在股票市場(chǎng)上，投資者常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線的變化情況來(lái)決定買入或賣出股票．股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉?shì)圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只股票的均線近期走得很有特點(diǎn)：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則股價(jià)y（元）和時(shí)間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來(lái)描述，從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志，且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線l：x=34對(duì)稱．老張預(yù)計(jì)這只股票未來(lái)的走勢(shì)如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對(duì)稱，EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢(shì)（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點(diǎn)F．現(xiàn)在老張決定取點(diǎn)A（0，22），點(diǎn)B（12，19），點(diǎn)D（44，16）來(lái)確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且求得ω=

π

72

．
（1）請(qǐng)你幫老張算出a，b，φ，并回答股價(jià)什么時(shí)候見頂（即求F點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
（2）老張如能在今天以D點(diǎn)處的價(jià)格買入該股票3000股，到見頂處F點(diǎn)的價(jià)格全部賣出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）C、D關(guān)于直線l對(duì)稱，易求C點(diǎn)坐標(biāo)為（24，16），將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）可求得tanφ=-

3

3

，進(jìn)一步可得φ=

5π

6

，a=6，b=19，從而得到ABC段的函數(shù)解析式，當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見頂；
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，從而可得老張買入該股票3000股能賺的錢數(shù)．

解答： 解：（1）∵C、D關(guān)于直線l對(duì)稱，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2×34-44，16）即（24，16）…2分
把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得

22=asinφ+b 19=asin( π 6 +φ)+b 16=asin( π 3 +φ)+b

① ② ③

，…3分
②─①得，a[sin(

π

6

+φ)-sinφ]=-3，
③─①得，a[sin(

π

3

+φ)-sinφ]=-6，
∴2sin(

π

6

+φ)-2sinφ=sin(

π

3

+φ)-sinφ，…4分
∴cosφ+

3

sinφ=

3

2

cosφ+

3

2

sinφ，
∴(1-

3

2

)cosφ=(

3

2

-

3

)sinφ=

3

(

3

2

-1)sinφ，
∴tanφ=-

3

3

，…5分
∵0＜φ＜π，∴φ=π-

π

6

=

5π

6

代入②，得b=19
再由①得，a=6∴a=6，b=19，φ=

5π

6

…7分
于是，ABC段的解析式為y=6sin(

π

72

x+

5π

6

)+19，…8分
由對(duì)稱性得DEF段的解析式為y=6sin[

π

72

(68-x)+

5π

6

]+19，…9分
∴

π

72

(68-xF)+

5π

6

=

π

2

解得x_F=92∴當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見頂…10分
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故這次操作老張能賺3000×（25-16）=27000（元）…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．