Question

8．在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），曲線C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）從C₂上任意一點P作曲線C₁的切線，設(shè)切點為Q，求切線長PQ的最小值及此時點P的極坐標．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），消去參數(shù)可得：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=1．曲線C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=8$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（II）如圖所示，過圓心C₁作C₁P⊥直線C₂，垂足為點P，此時切線長PQ最�。�利用點到直線的距離公式可得|C₁P|．|PQ|=$\sqrt{|{C}_{1}P{|}^{2}-{r}^{2}}$，直線C₁P的方程為：y=x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-8\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得P，利用$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$即可得出P極坐標．

解答 解：（I）曲線C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），消去參數(shù)可得：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=1．
曲線C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=8$，∴x+y-8$\sqrt{2}$=0
（II）如圖所示，過圓心C₁作C₁P⊥直線C₂，垂足為點P，此時切線長PQ最�。�
|C₁P|=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=6．
∴|PQ|=$\sqrt{|{C}_{1}P{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{35}$，
直線C₁P的方程為：y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-8\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得x=y=4$\sqrt{2}$．
∴P$（4\sqrt{2}，4\sqrt{2}）$，
∴$ρ=\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=8，
$tanθ=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=1，θ=$\frac{π}{4}$．
∴P$（8，\frac{π}{4}）$．

點評 本題考查了直線的極坐標方程化為直角坐標方程、圓的參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．