Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(1)證法一：取的中點(diǎn)，連． 　　∵為的中點(diǎn)，∴且． 　　∵平面，平面， 　　∴，∴． 　　又，∴． 　　∴四邊形為平行四邊形，則． 　　∵平面，平面， 　　∴平面． 　　證法二：取的中點(diǎn)，連． 　　∵為的中點(diǎn)，∴． 　　∵平面，平面，∴． 　　又， 　　∴四邊形為平行四邊形，則． 　　∵平面，平面， 　　∴平面，平面． 　　又，∴平面平面． 　　∵平面， 　　∴平面．(5分) 　　(2)證：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴． 　　∵平面，平面，∴． 　　又，故平面． 　　∵，∴平面． 　　∵平面， 　　∴平面平面．(5分) 　　解：在平面內(nèi)，過(guò)作于，連． 　　∵平面平面，∴平面． 　　∴為和平面所成的角． 　　設(shè)，則， 　　， 　　Rt△中，． 　　∴直線和平面所成角的正弦值為．(4分) 　　方法二：設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 　　． 　　∵為的中點(diǎn)，∴．