Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的極大值為5，極小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)和極值之間的關(guān)系建立方程組，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)，則f'（x）≥0在（-∞，-）恒成立，然后分類討論．
解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=，
因為 a＞0，所以x=＜0，
當f'（x）＞0時，解得或x＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當f'（x）0時，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以當x=時，函數(shù)取得極大值，當x=0時，函數(shù)取得極小值．
即，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函數(shù)解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上問知當x=0或x=-時，f'（x）=0．
①當a＞0時，x=-＜0．函數(shù)f（x）在（-∞，-）和（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在（-，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴若f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)，則必有，解得．
②當a＜0時，-＞0．函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（-，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)．顯然滿足f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)．
③當a=0時，-=0．函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
也滿足f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)．
∴綜合上述三種情況，所求a的取值范圍為．…（12分）
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，極值與導數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用．