Question

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)為0，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，對(duì)任意的正整數(shù)k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，求d_k；
（3）對(duì)（2）題中的d_k，設(shè)A（1，5d₁），B（2，5d₂），動(dòng)點(diǎn)M，N滿足

MN

=

AB

，點(diǎn)N的軌跡是函數(shù)y=g（x）的圖象，其中g(shù)（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，g（x）=lgx，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是函數(shù)f（x）的圖象，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）由條件得Sn=

n

2

(n-1)，再根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，從而b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．最后由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，即可求出公差為d_k；
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）設(shè)當(dāng)3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x-3m≤3，由是以3為周期的周期函數(shù)得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），再設(shè)M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，y_N），利用向量相等得到

xN-x=1 yN-y=12

，從而建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求出求f（x）．

解答：解：（1）由條件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)
所以an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，
所以b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

．
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）
當(dāng)3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）時(shí)，g（x）=lg（x-3m），（0＜x-3m≤3），
由y=g（x）是以3為周期的周期函數(shù)得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），
設(shè)M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，y_N），
則

xN-x=1 yN-y=12

．
而y_N=lg（x_N-3m），（3m＜x_N≤3m+3（m∈Z）），
于是，y+12=lg（x+1-3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），
所以，f（x）=lg（x+1-3m）-12，（3m-1＜x≤3m+2（m∈Z））．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．