Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：（）過點(diǎn)，其心率等于.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且橢圓E于點(diǎn)P.

①求證：為定值：

②設(shè)與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析.

【解析】

（1）由題意的離心率公式和點(diǎn)滿足題意方程，結(jié)合橢圓的，，的關(guān)系解出方程，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）①設(shè)，，求得直線的方程，代入橢圓方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得證；

②先求得的斜率，再由圓的性質(zhì)可得，求出的斜率，再求直線的方程，即可得到定點(diǎn).

（1）設(shè)橢圓焦距為，所以且

解得

所以橢圓E的方程為；

（2）設(shè)，，

①易得直線的方程為：，

代入橢圓得，，

由得，，從而，

所以

.

②依題意，，

由得，，

則的方程為：，即，

所以直線過定點(diǎn).