Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在橢圓C上，求P到直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距離的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓方程，令x=c求得y，可得a=2b²，再由等邊三角形可得c=$\sqrt{3}$b，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出與直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0平行的切線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由判別式等于0求得兩切線方程，由平行線間的距離公式求得橢圓上點(diǎn)P到直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距離的最大值和最小值，并通過(guò)求解方程得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，①
又焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=2，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)與直線x-2y+3 $\sqrt{2}$=0平行的直線方程為x-2y+m=0，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0．
由△=（2m）²-8（m²-4）=0，解得：m=±2$\sqrt{2}$．
∴與直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0平行，
且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相切的切線方程為x-2y-2$\sqrt{2}$=0或x-2y+2$\sqrt{2}$=0．
當(dāng)切線方程為x-2y-2$\sqrt{2}$=0時(shí)，
切點(diǎn)P到直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距離最大，為$\frac{|3\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{10}$．
由2x²-4$\sqrt{2}$x+4=0，求得P（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
當(dāng)切線方程為x-2y+2$\sqrt{2}$=0時(shí)，
切點(diǎn)P到直線x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距離最小，為$\frac{|3\sqrt{2}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
由2x²+4$\sqrt{2}$x+4=0，求得P（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．