Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，其一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，又橢圓C上有一點(diǎn)M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當(dāng)MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的焦點(diǎn)，又橢圓C上有一點(diǎn)M（2，1），由此可求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線在y軸上的截距為m，則直線，由直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，可導(dǎo)出m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設(shè)MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，K₁+K₂=0，然后結(jié)合題設(shè)條件和根與系數(shù)的關(guān)系知MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形，從而得到m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，又橢圓C上有一點(diǎn)M（2，1）∴橢圓方程為，
（2），設(shè)直線在y軸上的截距為m，則直線
直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設(shè)MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，∴K₁+K₂=0，∵
=
=
故MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形．∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．