已知雙曲線
x2-

=1,過點
A(2,1)的直線
l與已知雙曲線交于
P1、
P2兩點.
(1)求線段
P1P2的中點
P的軌跡方程;
(2)過點
B(1,1)能否作直線
l′,使
l′與已知雙曲線交于兩點
Q1、
Q2,且
B是線段
Q1Q2的中點?請說明理由.
(1) 中點
P的軌跡方程是2
x2-
y2-4
x+
y=0.

(2)見解析
(1)解法一:設(shè)點
P1、
P2的坐標(biāo)分別為(
x1,
y1)、(
x2,
y2),中點
P的坐標(biāo)為(
x,
y),則有
x12-

=1,
x22-

=1,兩式相減,得
2(
x1+
x2)(
x1-
x2)=(
y1+
y2)(
y1-
y2).
當(dāng)
x1≠
x2,
y≠0時,
由
x1+
x2=2
x,
y1+
y2=2
y,
得

=

. ①
又由
P1、
P2、
P、
A四點共線,
得

=

. ②
由①②得

=

,
即2
x2-
y2-4
x+
y=0.
當(dāng)
x1=
x2時,
x=2,
y=0滿足此方程,故中點
P的軌跡方程是2
x2-
y2-4
x+
y=0.
解法二:設(shè)點
P1、
P2、中點
P的坐標(biāo)分別為(
x1,
y1)、(
x2,
y2)、(
x,
y),
直線
l的方程為
y=
k(
x-2)+1,將
l方程代入雙曲線
x2-

=1中,
得(2-
k2)
x2+2
k(2
k-1)
x+2
k2-3=0,
則
x1+
x2=

,
x1x2=

,
y1+
y2=
k(
x1+
x2)+2-4
k=

.

于是
當(dāng)
y≠0時,由①②得
k=

.將其代入①,整理得2
x2-
y2-4
x+
y=0.當(dāng)
l傾斜角為90°時,
P點坐標(biāo)為(2,0)仍滿足此方程,故中點
P的軌跡方程為2
x2-
y2-4
x+
y=0.
(2)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線
l′存在,
Q1、
Q2的坐標(biāo)分別為(
x3,
y3)、(
x4,
y4),同(1)得2(
x3+
x4)(
x3-
x4)=(
y3+
y4)(
y3-
y4).
∵
x3+
x4=2,
y3+
y4=2,
∴

=2(
x3≠
x4),
即
l′的斜率為2.
∴
l′的直線方程為
y-1=2(
x-1),
即
y=2
x-1.
∵方程組

無解,與假設(shè)矛盾,
∴滿足條件的直線
l′不存在.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
過雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M、N兩點,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于___________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知點A

和曲線

上的點

…、

。若

、

、…、

成等差數(shù)列且公差
d >0,(1). 試將
d表示為
n的函數(shù)關(guān)系式.(2). 若

,是否存在滿足條件的

.若存在,求出
n可取的所有值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
mx2+
y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則
m等于( )
A. | B.-4 | C.4 | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若橢圓

+

=1(
m>
n>0)和雙曲線

-

=1(
a>
b>0)有相同的焦點
F1、
F2,
P是兩條曲線的一個交點,則|
PF1|·|
PF2|的值是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知點

和

,動點
C到
A、
B兩點的距離之差的絕對值為2,點
C的軌跡與直線

交于
D、
E兩點,求線段
DE的長.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線

的右頂點為E,雙曲線的左準(zhǔn)線與該雙曲線的兩漸近線的交點分別為
A、B兩點,若∠AEB=60°,則該雙曲線的離心率
e是()
A. | B.2 | C. 或2 | D.不存在 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
一條漸近線方程是

,一焦點為(4,0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題

是雙曲線

的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足

,
則

————
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