Question

（理）已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對(duì)任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（III）討論函數(shù)h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

Answer 1

解：（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0．
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴
依題意，或在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III），
令．
所以
令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)k＜1或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．
分析：（I）根據(jù)對(duì)任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式關(guān)系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，，則或在（0，1）上恒成立，然后將a分離出來(lái)，研究不等式另一側(cè)的最值即可求出a的范圍；
3）令，研究該函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖形可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．