Question

已知向量，向量，函數(shù)•．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在上有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵，，
∴=（sinx+cosx，-），可得
•=sinx（sinx+cosx）+=sin²x+sinxcosx+
∵sin²x=（1-cos2x），sinxcosx=sin2x
∴f（x）=（1-cos2x）+sin2x+=sin（2x-）+1
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵，可得2x-∈[，]
∴sin（2x-）∈[，1]，得f（x）=sin（2x-）+1的值域為[，2]
∵方程f（x）-t=0在上有解，
∴f（x）=t在上有解，可得實數(shù)t的取值范圍為[，2]．
分析：（I）由平面向量數(shù)量積的運算公式，結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡得f（x）sin（2x-）+1，再結(jié)合正弦函數(shù)周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)，可得2x-∈[，]．再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得f（x）=sin（2x-）+1的值域為[，2]．由此結(jié)合方程f（x）-t=0有上的解，即可求出實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)的式的坐標(biāo)形式，求函數(shù)的表達(dá)式并依此討論方程f（x）-t=0在上有解的問題，著重考查了平面向量數(shù)量積運算公式及其運算性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．