Question

如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC．
（1）求AD與平面ABC所成的角的大小；
（2）若AB=2，求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）因為AB⊥平面BCD，直線CD在平面BCD內(nèi)，所以AB⊥CD且∠DAB是AD與平面BCD所成的角，則∠DAB=30°．又BC⊥CD，且AB．BC是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面ABC，則∠DAC是AD與平面ABC所成的角．由此能求出AD與平面ABC所成的角．
（2）過B作BE⊥AC，交AC于E，由AB=BC=2，AB⊥BC，知E是AC的中點，由CD⊥平面ABC，知BE⊥CD，所以BE⊥面ACD，故點B到平面ACD的距離就是BE的長．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，且∠DAB是AD與平面BCD所成的角，
∴∠DAB=30°
∵BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∴∠DAC是AD與平面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC
由勾股定理得AC=

2

AB
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=30°
∴AD=2AB
∴在Rt△ACD中，∠ACD=90°
cos∠DAC=

AC

AD

=

2 AB

2AB

=

2

2

，
∴∠DAC=45°，
所以AD與平面ABC所成的角是45°．
（2）過B作BE⊥AC，交AC于E，
∵AB=BC=2，AB⊥BC，
∴E是AC的中點，
AC=2

2

，BE=

2

，
∵CD⊥平面ABC，
∴BE⊥CD，
∴BE⊥面ACD，
故點B到平面ACD的距離=BE=

2

．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法和點到平面的距離的計算，解題時要認真審題，仔細解答，注意把空間問題等價轉(zhuǎn)化為平面問題．本題的易錯點是空間感差，不能正確地把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．