Question

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，則△ABC的形狀是什么？

Answer 1

分析：三角形ABC的形狀為直角三角形，理由為：利用正弦定理和差化積公式把原式化簡(jiǎn)可得cos（A-B）=cosC，從而得到A=B+C或B=A+C，再由三角形內(nèi)角和定理可得A為直角或B為直角，即可得到三角形形狀為直角三角形．

解答：解：△ABC的形狀是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，且

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
則sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2A+sin2B=sin2C，
∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，又sin（A+B）=sinC，
∴cos（A-B）=cosC，
∴A-B=C或B-A=C，即A=B+C，或B=A+C．
再根據(jù)A+B+C=π，可得A=

π

2

或B=

π

2

，
則△ABC的形狀是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，和差化積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)的恒等變形以及和差化積公式得出cos（A-B）=cosC是解題的關(guān)鍵．