Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，可得
可得-1＜x＜1．
即函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．              
（Ⅱ）由，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．                   
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則
=
=，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以，
可得，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）為增函數(shù)．                
分析：（I）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）由（I）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，進而判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可得到函數(shù)的奇偶性；
（III）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，構(gòu)造兩個函數(shù)值的差，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，判斷差的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的判斷，對數(shù)函數(shù)的定義域，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的定義，即可得到答案．