Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)于定義域內(nèi)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，且函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x都有f（x）=-f（2-x）恒成立，如果實(shí)數(shù)m，n滿足條件f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0且m＞3，那么m²+n²的取值范圍是（　　）

• A、（13，49）
• B、（13，45）
• C、（9，25）
• D、（9，49）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)第一個(gè)條件得到f（x）是R上的增函數(shù)，根據(jù)第二個(gè)條件將f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0轉(zhuǎn)化為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），由單調(diào)性得到（m-3）²+（n-4）²＜4，畫出不等式表示的區(qū)域，再由m²+n²表示兩點(diǎn)（m，n）與（0，0）的距離的平方，由圖觀察即可．

解答： 解：∵R上的函數(shù)f（x）滿足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
又f（x）滿足f（x）=-f（2-x），
∴-f（x）=f（2-x），
又f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
即f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，
即m²+n²-6m-8n+21＜0，
即（m-3）²+（n-4）²＜4；
∵m＞3，
∴不等式表示的是以（3，4）為圓心，2為半徑的半圓及內(nèi)部（如圖）
又m²+n²表示兩點(diǎn)（m，n）與（0，0）的距離的平方，
由圖得OA=

32+22

=

13

，OB=

32+42

+2=7，
∴m²+n²的取值范圍為（13，49）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，同時(shí)考查圓的方程，及兩點(diǎn)間的距離，屬于中檔題．