已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為e,有下列命題:
①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為;
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;
③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a;
其中正確命題的序號(hào)是   
【答案】分析:分別求得雙曲線的漸近線和準(zhǔn)線方程,進(jìn)而求得準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度判斷①正確.
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a=(e-1)|PF2|≥(e-1)(c-a),進(jìn)而求得e的范圍,判斷②不正確.
設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為O,內(nèi)切圓切PF1于A點(diǎn),PF2于B點(diǎn),F(xiàn)1F2于C點(diǎn),根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a.進(jìn)而根據(jù)|PF1|=|PA|+|AF1|,|PF2|=|PB|+|BF2|,求得C的橫坐標(biāo),判斷③正確.
解答:解:雙曲線的漸進(jìn)線為y=±x,準(zhǔn)線方程為x=,代入漸進(jìn)線方程得y=±=
∴準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為2×=故①正確.
∵|PF1|-|PF2|=2a=(e-1)|PF2|≥(e-1)(c-a),整理得(e-1)•(e-1)≤2,解得,e≤1+所以e的最大值是1+②不正確.
設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為O,內(nèi)切圓切PF1于A點(diǎn),PF2于B點(diǎn),F(xiàn)1F2于C點(diǎn),
因?yàn)槭莾?nèi)切圓,所以有OA⊥PF1,OB⊥PF2,OC⊥F1F2,且PA=PB,AF1=F1C,BF2=CF2.因?yàn)镺C⊥F1F2,即x軸,只要求出C點(diǎn)的橫坐標(biāo),就等于求出了O點(diǎn)的橫坐標(biāo).
由雙曲線的性質(zhì)可知
∵|PF1|-|PF2|=2a
∵|PF1|=|PA|+|AF1|,|PF2|=|PB|+|BF2|,
∴|PF1|-|PF2|=(|PA|+|AF1|)-(|PB|+|BF2|)=|CF1|-|CF2|=2a,
又∵|CF1|+|CF2|=2c,聯(lián)立可得CF2=c-a,∵F2(c,0),
∴C(a,0).
∴O點(diǎn)橫坐標(biāo)就為a,故③正確.
故答案為①③
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用.解題的前提是對(duì)雙曲線的基本知識(shí)能綜合掌握.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年四川省成都市高三三診模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型:填空題

.已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1, A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為,有下列命題:

    ①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為

    ②若;

    ③的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為;

    ④若直線PF1的斜率為

    其中正確的命題的序號(hào)是           。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年四川省高三第三次模擬考試(理) 題型:填空題

已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為e,有下列命題:

    ①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為

②若,則e的最大值為

的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a;

④若直線PF1的斜率為k,則

其中正確的命題的序號(hào)是                  .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年四川省成都市石室中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為e,有下列命題:①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為;
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a;④若直線PF1的斜率為k,則e2-k2>1,其中正確命題的序號(hào)是   

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年北京101中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為e,有下列命題:①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為;
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a;④若直線PF1的斜率為k,則e2-k2>1,其中正確命題的序號(hào)是   

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知P是雙曲線的右支上一點(diǎn),A1,A2分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為e,有下列命題:
①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長(zhǎng)度為
②若|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為;
③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a;
其中正確命題的序號(hào)是   

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案