Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是滿足f（x）+f（-x）=0，在（-∞，0）上$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且f（5）=0，則使f（x）＜0的x取值范圍是（-5，0）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 由條件及奇函數(shù)、減函數(shù)的定義便知f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0），（0，+∞）上為減函數(shù)，且有f（-5）=f（5）=0，從而可分別討論x＞0，和x＜0從而得出$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（5）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-5）}\end{array}\right.$，這樣根據(jù)f（x）的單調(diào)性即可得出x的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件知，f（x）在R上為奇函數(shù)，在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（-5）=f（5）=0；
∴①x＞0時，由f（x）＜0得，f（x）＜f（5）；
∴x＞5；
②x＜0時，由f（x）＜0得，f（x）＜f（-5）；
-5＜x＜0；
∴x的取值范圍為（-5，0）∪（5，+∞）．
故答案為：（-5，0）∪（5，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)、減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式的方法．