Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足：．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)求出a₁，然后代入即可求出a₂與a₃；
（2）由得4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，研究{a_n}的相鄰項(xiàng)的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項(xiàng)即可．
（3）由（2）可得 ，裂項(xiàng)求和即可．
解答：解：（1）由得，解得a₁=1
由解得a₂=3
由解得a₃=5
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，-
整理得：（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
化簡(jiǎn)得：a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
即a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1
（3）=
…=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，求解的關(guān)鍵是根據(jù)其通項(xiàng)的形式將其項(xiàng)分為兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)求和的技巧求和，在裂項(xiàng)時(shí)要注意分母上兩個(gè)因子相差2不是1，故裂項(xiàng)后應(yīng)乘以 ，此是裂項(xiàng)時(shí)空間出錯(cuò)的地方．