定義在R上的奇函數(shù)f(x)=2x+m•2-x
(1)求m的值,并求當f(x)>2-x時,實數(shù)x的取值范圍;
(2)當x∈[-2,1]時,不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
考點:奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(1)由f(0)=0,求出m=-1,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,解出不等式;
(2)當x∈[-2,1]時,不等式f(x)<k恒成立,等價為k>f(x)max,求出區(qū)間[-2,1]內(nèi)的最大值即可.
解答: 解:(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,
∴1+m=0,m=-1,
∴f(x)=2x-2-x,
∴f(x)>2-x即為2x>21-x,
∴x>1-x,即x>
1
2

∴實數(shù)x的取值范圍是(
1
2
,+∞);
(2)∵f(x)=2x-2-x在R上遞增,
∴x∈[-2,1]時,f(x)max=f(1)=2-
1
2
=
3
2
,
∴當x∈[-2,1]時,不等式f(x)<k恒成立,
有k>f(x)max,即k>
3
2
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,及應用,同時考查不等式的恒成立問題,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(ax+b)ex在x=0處取得極值,且函數(shù)f(x)的圖象過點A(0,-1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)設函數(shù)g(x)的定義域為D,若存在區(qū)間[m,n]⊆D,使得g(x)在[m,n]上的值域是[m+1,n+1],則稱區(qū)間[m,n]為函數(shù)g(x)的“增值區(qū)間”.
①證明:當x>0,函數(shù)f(x)不存在“增值區(qū)間”;
②函數(shù)y=f(x)+2是否存在“增值區(qū)間”?若存在,寫出一個“增值區(qū)間”(不必證明);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
π
2
x+3, x<0
0 , x=0
π
2
x-5 , x>0
請設計算法框圖,要求輸入自變量,輸出函數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知以a1為首項的數(shù)列{an}滿足an+1=
an+c,an<3
an
d
,an≥3

(Ⅰ)當a1=1,c=1,d=3時,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)當0<a1<1,c=1,d=3時,試用數(shù)列a1表示數(shù)列{an}前100項的和S100
(Ⅲ)當0<a1
1
m
(m∈N*),c=
1
m
時,正整數(shù)d≥3m時,證明:數(shù)列a2-
1
m
,a3m+2-
1
m
,a6m+2-
1
m
,a9m+2-
1
m
成等比數(shù)列的充要條件是d=3m.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(Ⅰ)已知cosα=-
3
5
,且α∈(
π
2
,π),求sinα,tanα的值;
(Ⅱ)化簡:sin420°cos330°+sin(-690°)cos(-660°).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知:數(shù)列{an}的首項為1,點(an,an+1)在直線y=x+1的圖象上,
(1)求數(shù)列{an}的通項;
(2)bn=2an-13,求Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|;
(3)cn=
1
(2an-1)(2an+1)
,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求使不等式Tn
k
16
對一切n∈N*都成立的最大的正整數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知過點P(2,2)的直線l與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0平行,求a.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=xlnx.
(I)設F(x)=
1
2
mx 
2+f′(x)(m∈R),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)過兩點A(x1,f′(x1)),B(x2f′(x2))(x1<x2)的直線的斜率為k,求證:0<k<
1
x1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
log
1
2
x(0<x≤1)
2-3x(x>1)
,若f(3a)<f(2a2-9),則實數(shù)a的取值范圍是
 

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