Question

設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，PQ是過左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，若在左準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則橢圓離心率e的取值范圍是

(

3

3

，1)

．

Answer 1

分析：利用橢圓的定義，求出PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)△PQR為正三角形，PQ是過左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，構(gòu)建不等式，即可求得橢圓離心率的范圍．

解答：解：設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)P、M、Q分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為P'、M'、Q'
則|MM'|=

1

2

（|PP'|+|QQ'|）=

1

2e

（|PF|+|QF|）=

1

2e

|PQ|
假設(shè)存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則由|RM|=

3

2

|PQ|，且|MM'|＜|RM|
得：

1

2e

|PQ|＜

3

2

|PQ|
∴

1

2e

＜

3

2

∴e＞

3

3

∴橢圓離心率e的取值范圍是(

3

3

，1)
故答案為：(

3

3

，1)

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查解不等式，屬于基礎(chǔ)題．