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定義在R上的函數f（x）滿足f(x+
3
2
)+f(x)=0，且函數y=f(x-
3
4
)為奇函數，給出下列命題：①函數f（x）的最小正周期是
3
2
；②函數y=f（x）的圖象關于點(-
3
4
，0)對稱；③函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．其中真命題的個數是（　�。�
A．3B．2C．1D．0
①：由題意可得f（x+3）=-f（x+
3
2
）=f（x）則函數f（x）是周期函數且其周期為3，故①錯誤
②：由y=f（x-
3
4
）是奇函數可得其圖象關于原點（0，0）對稱，由y=f（x-
3
4
）向左平移
3
4
個單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數f（x）的圖象關于點（-
3
4
，0）對稱，故②正確
③：由②知，對于任意的x∈R，都有f（-
3
4
-x）=-f（ -
3
4
+x），用
3
4
+x代換x，可得：f（-
3
2
-x）+f（x）=0
∴f（-
3
2
-x）=-f（x）=f（x+
3
2
）對于任意的x∈R都成立．令t=
3
2
+x，則f（-t）=f（t），則可得函數f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱，故③正確
故選：B．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，
π
2
]時，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

20、已知定義在R上的函數f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數F（x）=f（x）-3x2是奇函數，函數f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當x∈（0，4）時，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，函數y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數f（x）一定存在零點的區(qū)間是（　�。�

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