Question

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）上在（0，+∞）為單調增函數(shù)．
（1）判別f（x）在（-∞，0]上的單調性并加以證明；
（2）若f（1）＜f（log₃（x-2）），求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）在（-∞，0]上為單調減函數(shù)，理由如下：
任取區(qū)間（-∞，0]上兩個數(shù)a，b，且a＜b≤0
則0≤-b＜-a
∵函數(shù)f（x）上在（0，+∞）為單調增函數(shù)
∴f（-b）＜f（-a）
又∵函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)
∴f（-b）=f（b），f（-a）=f（a）
故f（b）＜f（a）
即f（x）在（-∞，0]上為單調減函數(shù)
（2）由（1）中結論
f（1）＜f（log₃（x-2））可化為：
log₃（x-2）＞1，或log₃（x-2）＜-1
即x-2＞3或0＜x-2＜
解得：x＞5或2＜x＜
故x的取值范圍為：x＞5或2＜x＜．
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，結合f（x）上在（0，+∞）為單調增函數(shù)，易判斷f（x）在（-∞，0]上的單調性，根據(jù)單調性的定義即可證明結論．
（2）根據(jù)（1）中的單調性，我們易將f（1）＜f（log₃（x-2）），轉化為一個對數(shù)不等式，結合對數(shù)函數(shù)的性質可進而轉化為一個整式不等式，解不等式即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調性的判斷與證明，函數(shù)單調性的應用，及對數(shù)的運算性質，其中利用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，判斷別f（x）在（-∞，0]上的單調性是解答本題的關鍵．