Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，設(shè)b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
（3）若cn=

2bn

an•an+1

，證明：c1+c2+…+cn＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n+1=2（a_n-1+1）即可證明{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知即可得出；
（3）證法一：利用cn=

2n

anan+1

，由于{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，可得以{c_n}也為正項(xiàng)數(shù)列，從而

cn+1

cn

＜

1

2

，可得數(shù)列{c_n}遞減．通過放縮法，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
證法二：由于cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用“裂項(xiàng)求和”和放縮法即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-1得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．     
（2）由（1）得an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，n∈N*
∴bn=log2(an+1)=log22n=n，n∈N*．
（3）證法一：cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

由{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，所以{c_n}也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而

cn+1

cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-1

＜

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，
∴數(shù)列{c_n}遞減．
c1+c2+…+cn＜c1+

1

2

c1+(

1

2

)2c1+…+(

1

2

)n-1c1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

•c1＜

4

3

．
證法二：由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴c1+c2+…+cn=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1＜

4

3

點(diǎn)評：本題考查了利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”和放縮法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．