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正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝Ｏ，A1C1∩B1D1＝O1．

求證：OO1⊥平面AC．

答案：
解析：

　　證法一：如圖，連結O1A和O1C，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

　　∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1，

　　且A1B1∩A1D1＝A1，

　　∴A1A⊥平面A1C1．

　　∵A1C1平面A1C1，

　　∴A1A⊥A1C1．同理，CC1⊥A1C1．

　　∵A1O1＝O1C1，AA1＝CC1，

　　∴△AA1O1≌△CC1O1，O1A＝O1C．

　　∵O為AC中點，

　　∴O1O⊥BD．又AC∩BD＝O，

　　∴OO1⊥平面AC．

　　證法二：∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，

　　∴AA1⊥AB，AA1⊥AD．

　　∵AB∩AD＝A，

　　∴AA1⊥平面AC．

　　∵AA1BB1，BB1CC1，

　　∴AA1CC1，四邊形AA1C1C為平行四邊形．

　　∵O、O1分別為AC、A1C1的中點，

　　∴OO1∥AA1，OO1⊥平面AC．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中．
（1）求：點A到平面BD1的距離；
（2）求點A1到平面AB1D1的距離；
（3）求平面AB1D1與平面BC1D的距離；
（4）求直線AB到CDA1B1的距離．

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求：
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（2）AA1與平面A1BD所成的角的余弦值．

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（Ⅲ）求四面體A1-BB1D的體積．

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3
2
arccos
1
3
3
2
arccos
1
3
．

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科目：高中數學 來源：2013屆云南省高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

正方體ABCD－A1 B1 C1 D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為    （        ）

 (A)                    (B)             (C)           (D)

 

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