Question

某單位為普及奧運(yùn)知識，根據(jù)問題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識競猜活動． A種競猜活動規(guī)定：參賽者回答6個問題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對4個，可獲福娃一個，答對5個或6個，可獲其它獎品；B種競猜活動規(guī)定：參賽者依次回答問題，答對一個就結(jié)束競猜且最多可回答6個問題，答對一個問題者可獲福娃一個．假定參賽者答對每個題的概率均為

1

4

．
（I）求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率；
（II）設(shè)某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)為η，求Eη．

Answer 1

分析：（1）參賽者回答6個問題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對4個，可獲福娃一個，依題意答對一題的概率為

1

4

，則根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意得到變量的可能取值，根據(jù)變量對應(yīng)的事件，解出概率，寫出分布列和期望，在解期望時，這幾項(xiàng)的和解題較困難，因此要構(gòu)造新數(shù)列，利用錯位相減得到結(jié)果．

解答：解：（I）∵參賽者回答6個問題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對4個，可獲福娃一個
設(shè)事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，
依題意答對一題的概率為

1

4

，則根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到
P（M）=

C

4 6

(

1

4

)4(1-

1

4

)2
=15×

9

46

=

135

46

=

135

4096

．
（II）依題意，某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)η=1，2，3，4，5，6，
則P(η=1)=

1

4

，
P(η=2)=

3

42

，
P(η=3)=

9

43

，
P(η=4)=

27

44

，
P(η=5)=

81

45

，
P(η=6)=

243

45

．
∴η的分布列是
∴Eη=1×

1

4

+2×

3

4

×

1

4

++5×(

3

4

)4×

1

4

+6×(

3

4

)5
設(shè)S=1+2×

3

4

+3×(

3

4

)2++5×(

3

4

)4，
則

3

4

S=

3

4

+2×(

3

4

)2+3×(

3

4

)3+4×(

3

4

)4+5×(

3

4

)5
∴

1

4

S=1+

3

4

+(

3

4

)2+(

3

4

)3+(

3

4

)4-5×(

3

4

)5=

1-( 3 4 )5

1 4

-5×(

3

4

)5，
∴Eη=

1-( 3 4 )5

1 4

-5×(

3

4

)5+6×(

3

4

)5=

46-36

45

=

3367

1024

．
即某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為

135

4096

；
某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)為η，Eη為

3367

1024

．

點(diǎn)評：本題是一個綜合問題，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望并且結(jié)合數(shù)列求和的問題，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．