Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值；
（3）令，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，．

Answer 1

（1）由，得（n≥2）．
兩式相減，得，即（n≥2）．
于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．（2分）
又，所以a₁=4．
所以，故．（4分）
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29664.png' />=，則．
令，則．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．（7分）
所以當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為．
據(jù)題意，，即m＜19．又m為整數(shù)，故m的最大值為18．（8分）
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/124817.png' />，則當(dāng)n≥2時(shí)，==．（9分）
下面證
先證一個(gè)不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，
令，則，
∴g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，
令，，，，…，
以上n個(gè)式相加，即有
∴． （14分）
分析：（1）由條件可得，再化為 ，可得數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，求出a₁的值，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29664.png' />=，則，令，化簡 f（n+1）-f（n），再用放縮法證明它大于零，可得
數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列，由此求得它的最小值，由求得m的最大值．
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/124817.png' />，則當(dāng)n≥2時(shí)，化簡T_2n為，再通過證明當(dāng)x＞0時(shí)，，來證明．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式綜合，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題．