Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b∈R，a≠0）滿足條件：
①當(dāng)x∈R時，f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值為0；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

解：（1）∵f（x）的對稱軸為x=-1，
∴=-1，即b=2a…（1分）
又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分）
由條件③知：a＞0，且，即b²=4ac…（3分）
由上可求得…（4分）
∴…（5分）
（2）由（1）知：，圖象開口向上．
而y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x
即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．…（7分）
∴1，m應(yīng)該是y=f（x+t）與y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，…（8分）
即1，m是的兩根，…（9分）
由1是的一個根，得（t+2）²=4，解得t=0，或t=-4…（11分）
把t=0代入原方程得x₁=x₂=1（這與m＞1矛盾）…（12分）
把t=-4代入原方程得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9∴
m=9…（13分）
綜上知：m的最大值為9．…（14分）
分析：（1）利用條件①②③，可確定解析式中的參數(shù)，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．
點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值問題，將問題轉(zhuǎn)化為y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大是關(guān)鍵，屬于中檔題．