Question

已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若在上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(1)為函數(shù)的極小值點(diǎn)；（2）的取值范圍是；
（3）的取值范圍是

試題分析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031408738888.png" style="vertical-align:middle;" />.由得，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；
（2）.
在上為單調(diào)函數(shù)，則或在上恒成立.
等價(jià)于,所以.
等價(jià)于，所以.由此可得的取值范圍.
（3）構(gòu)造函數(shù)，
在上至少存在一個(gè)，使得成立，則只需在上的最大值大于0 即可.接下來就利用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值.
當(dāng)時(shí)，，所以在不存在使得成立.
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031409658994.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在恒成立，
故在單調(diào)遞增，，
所以只需，解之即得的取值范圍.
試題解析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031408738888.png" style="vertical-align:middle;" />.由得，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)              3分
（2），.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031408535572.png" style="vertical-align:middle;" />在上為單調(diào)函數(shù)，所以或在上恒成立                                                      5分
等價(jià)于
．                     7分
等價(jià)于即在恒成立，
而．
綜上，的取值范圍是．                         8分
（3）構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以在不存在使得成立.
當(dāng)時(shí)，              12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031409658994.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在恒成立，
故在單調(diào)遞增，，
所以只需，解之得，
故的取值范圍是                               14分