Question

【題目】為研究女高中生身高與體重之間的關(guān)系，一調(diào)查機(jī)構(gòu)從某中學(xué)中隨機(jī)選取8名女高中生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示：

編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
身高	164	160	158	172	162	164	174	166
體重	60	46	43	48	48	50	61	52

該調(diào)查機(jī)構(gòu)繪制出該組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖后分析發(fā)現(xiàn)，女高中生的身高與體重之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

（1）調(diào)查員甲計(jì)算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，請(qǐng)你據(jù)此預(yù)報(bào)一名身高為的女高中生的體重；

（2）調(diào)查員乙仔細(xì)觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，這8名同學(xué)中，編號(hào)為1和4的兩名同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與其他同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)偏差太大，于是提出這樣的數(shù)據(jù)應(yīng)剔除，請(qǐng)你按照這名調(diào)查人員的想法重新計(jì)算線性回歸話中，并據(jù)此預(yù)報(bào)一名身高為的女高中生的體重；

（3）請(qǐng)你分析一下，甲和乙誰的模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？說明理由.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：.

Answer 1

【答案】（1）一名身高為的女大學(xué)生的體重約為（2）回歸方程為，一名身高為的女大學(xué)生的體重約為（3）乙的模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠，詳見解析

【解析】

（1）計(jì)算平均數(shù)，求出，即可求出回歸方程；把178代入即可求出的女大學(xué)生的體重；

（2）根據(jù)余下的數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)，求出，，即可求出回歸方程；代入公式，即可求出身高為的女大學(xué)生的體重；

（3）從散點(diǎn)圖以及計(jì)算數(shù)據(jù)兩個(gè)方面來分析甲和乙誰的方程可靠．

解：（1）經(jīng)計(jì)算：，

于是：，

則該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，

當(dāng)時(shí)，，

于是：一名身高為的女大學(xué)生的體重約為；

（2）按照調(diào)查人員乙的想法，剩下的數(shù)據(jù)如下表所示：

編號(hào)	2	3	5	6	7	8
身高	160	158	162	164	174	166
體重	46	43	48	50	61	52

經(jīng)計(jì)算：，

于是：

，

則該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，

當(dāng)時(shí)，，

于是：一名身高為的女大學(xué)生的體重約為；

（3）乙的模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠，

理由如下：①從散點(diǎn)圖可以看出，第一組數(shù)據(jù)和第四組數(shù)據(jù)確實(shí)偏差較大，為更準(zhǔn)確的刻畫變化趨勢(shì)，有必要把這兩個(gè)數(shù)據(jù)剔除掉；

②從計(jì)算結(jié)果來看，相對(duì)于第七組數(shù)據(jù)的女大學(xué)生體重，甲對(duì)身高的女大學(xué)生的預(yù)測(cè)值明顯偏低，而利用乙的回歸方程得到的預(yù)測(cè)值增幅較合理.

（以上給出了兩種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）