【題目】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)+2f(x)= ,且f(1)= ,則不等式f(lnx)>f(3)的解集為(
A.(﹣∞,e3
B.(0,e3
C.(1,e3
D.(e3 , +∞)

【答案】C
【解析】解:由題意f′(x)+2f(x)= ,即[e2x(x)]′=lnx+ , 兩邊積分可知:e2x(x)=xlnx﹣x+ x+C,
∴f(x)= ,
由f(1)= ,代入解得:C= ,
∴f(x)= ,
求導f′(x)= ,由e2x>0
令g(x)=﹣2xlnx+lnx+x﹣1,求導g′(x)=﹣2lnx+ ﹣1,
令g′(x)=0,解得:x=1,
當x>1時,g′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
當0<x<1時,g′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
∴當x=1時,f′(x)取最大值,最大值為0,
即f′(x)≤0恒成立,
∴f(x)= ,單調(diào)遞減,
∴由f(lnx)>f(3),則0<lnx<3,
即1<x<e3 ,
故不等式的解集(1,e3),
故選:C.
由題意可知:[e2x(x)]′=lnx+ ,兩邊積分,求得函數(shù)f(x)的解析式,求導,利用函數(shù)的單調(diào)性,即可求得不等式的解集.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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