【題目】如圖所示,在三棱臺中,和均為等邊三角形,四邊形為直角梯形,平面,,分別為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)取的中點,連接,要證平面,可轉證平面平面,即證平面,平面;
(2)先證明兩兩互相垂直,以為軸建立空間直角坐標系,求出平面與平面的法向量,利用公式即可求出二面角的余弦值.
詳解:(1)取的中點,連接,
則,
因為平面,平面,
所以平面,
因為三棱臺中,,
所以,
因為平面,平面,
所以平面,
因為,所以平面平面, 因為平面,所以平面.
(2)取的中點,連接,
因為平面,平面,
所以,
因為,
所以平面,所以,
因為為直角梯形,
,
所以為正方形,所以,
所以兩兩互相垂直,分別以為軸建立空間直角坐標系,
因為,
所以,
由,得,
所以,
設平面的一個法向量為,
由 得,
令,得,
設平面的一個法向量為,
由得
令,得,
所以
由圖觀察可知,平面與平面所成二面角為鈍角,所以其余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】男運動員名,女運動員名,其中男女隊長各人,從中選人外出比賽,分別求出下列情形有多少種選派方法?(以數字作答)
男名,女名;
隊長至少有人參加;
至少名女運動員;
既要有隊長,又要有女運動員.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在正方體中邊長AB為2,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點,O為底面正方形ABCD的中心,Q為正方形ABCD內一點,M,N分別為AB,BC上靠近A和C的三等分點,若線段與OP相交且互相平分,則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____.
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