Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸端點為(0,2)，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且 ＝2.

(1)求橢圓的方程；

(2)求m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題意知橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

由題意知a＝2，b＝c，又a²＝b²＋c²，則b＝，所以橢圓的方程為＋＝1.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，

得

則(2＋k²)x²＋2mkx＋m²－4＝0，

Δ＝(2mk)²－4(2＋k²)(m²－4)＞0.

由根與系數(shù)的關(guān)系知

又由＝2，

即(－x₁，m－y₁)＝2(x₂，y₂－m)，

得－x₁＝2x₂，故

可得

整理得(9m²－4)k²＝8－2m²，又9m²－4＝0時不符合題意，所以k²＝＞0，解得＜m²＜4，此時Δ＞0，解不等式＜m²＜4得＜m＜2或－2＜m＜－，

所以m的取值范圍為.