Question

12．設(shè)f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x（e=2.71828…）
（1）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再解不等式f（x）＞f（-x+2）；
（2）設(shè)f（x）f（y）=3，g（x）g（y）=7．求$\frac{g（x-y）}{g（x+y）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷求解．
（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則進行化簡即可．

解答 解：（1）∵y=e^x為增函數(shù)，y=e^-x為減函數(shù)，則f（x）=e^x-e^-x為增函數(shù)，
∴由f（x）＞f（-x+2）得x＞-x+2，
即2x＞2，解得x＞1，即不等式的解集為（1，+∞）；
（2）由f（x）f（y）=3，g（x）g（y）=7．
得（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=3，（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=7．
即e^x+y+e^-（x+y）-（e^x-y+e^y-x）=3，e^x+y+e^-（x+y）+（e^x-y+e^y-x）=7，
則e^x+y+e^-（x+y）=5，e^x-y+e^y-x=2，
即g（x+y）=e^x+y+e^-（x+y）=5，g（x-y）=e^x-y+e^y-x=2，
則$\frac{g（x-y）}{g（x+y）}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及指數(shù)冪的運算，比較基礎(chǔ)．