Question

10．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+a是奇函數(shù)，
（1）求a的值．
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，即可求a的值．
（2）f（x）是R上的減函數(shù)，利用定義加以證明；
（3）由于f（x）是R上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，故不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-6t）＜f（k-2t²）所以t²-6t＞k-2t²即k＜3t²-6t=3（t-1）²-3恒成立，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0
即$\frac{2}{1+1}+a=0$，所以a=-1
又f（-x）=-f（x）成立，所以a=-1（3分）
（2）f（x）是R上的減函數(shù)．
證明：設x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}+1=\frac{{2（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$
因為x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，故f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是R上的減函數(shù)；                                  （7分）
（3）由于f（x）是R上的減函數(shù)且為奇函數(shù)
故不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-6t）＜f（k-2t²）
所以t²-6t＞k-2t²即k＜3t²-6t=3（t-1）²-3恒成立
所以k＜-3k的取值范圍為（-∞，-3）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．