Question

（12分）在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．

（2）解：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（a，a，0），（0，2a，0）．

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．過E作EF⊥AD，垂足為F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）

于是，={－a，a，0}

設(shè)與的夾角為θ，則由

cosθ=

AE與CD所成角的余弦值為．

考點(diǎn)：本題主要考查空間向量的應(yīng)用,綜合考查向量的基礎(chǔ)知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．