Question

定義：對函數y=f（x），對給定的正整數k，若在其定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），則稱函數f（x）為“k性質函數”．
（1）判斷函數是否為“k性質函數”？說明理由；
（2）若函數為“2性質函數”，求實數a的取值范圍；
（3）已知函數y=2^x與y=-x的圖象有公共點，求證：f（x）=2^x+x²為“1性質函數”．

Answer 1

（1）解：若存在x₀滿足條件，則即，…．（2分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程無實數根，與假設矛盾．
∴不能為“k性質函數”． …．（4分）
（2）解：由條件得：，…．（5分）
即（a＞0），化簡得，…．（7分）
當a=5時，x₀=-1；…．（8分）
當a≠5時，由△≥0，16a²-20（a-5）（a-1）≥0，即a²-30a+25≤0，∴．
綜上，．…．（10分）
（3）證明：由條件存在m使2^m=-m，…．（11分）
∵，，
∴
=，…．（14分）
令x₀=m+1，則∵2^m=-m，∴=0
∴f（x₀+1）-f（x₀）-f（1）=0
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
∴f（x）=2^x+x²為“1性質函數”．…．（16分）
分析：（1）利用新定義可得，從而可得△＜0，方程無實數根；
（2）用新定義可得，對參數a討論，即可求實數a的取值范圍；
（3）由條件存在m使2^m=-m，進而作差可得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），由此可得結論．
點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，解題的關鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．