Question

定義：對函數(shù)y=f（x），對給定的正整數(shù)k，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），則稱函數(shù)f（x）為“k性質(zhì)函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)是否為“k性質(zhì)函數(shù)”？說明理由；
（2）若函數(shù)為“2性質(zhì)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)y=2^x與y=-x的圖象有公共點(diǎn)，求證：f（x）=2^x+x²為“1性質(zhì)函數(shù)”．

Answer 1

（1）解：若存在x₀滿足條件，則即，…．（2分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程無實(shí)數(shù)根，與假設(shè)矛盾．
∴不能為“k性質(zhì)函數(shù)”． …．（4分）
（2）解：由條件得：，…．（5分）
即（a＞0），化簡得，…．（7分）
當(dāng)a=5時(shí)，x₀=-1；…．（8分）
當(dāng)a≠5時(shí)，由△≥0，16a²-20（a-5）（a-1）≥0，即a²-30a+25≤0，∴．
綜上，．…．（10分）
（3）證明：由條件存在m使2^m=-m，…．（11分）
∵，，
∴
=，…．（14分）
令x₀=m+1，則∵2^m=-m，∴=0
∴f（x₀+1）-f（x₀）-f（1）=0
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
∴f（x）=2^x+x²為“1性質(zhì)函數(shù)”．…．（16分）
分析：（1）利用新定義可得，從而可得△＜0，方程無實(shí)數(shù)根；
（2）用新定義可得，對參數(shù)a討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）由條件存在m使2^m=-m，進(jìn)而作差可得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．