Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)為何值時(shí)， 軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 軸是曲線的切線（2）當(dāng)或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn)．

【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組求出；（2）先確定函數(shù)的解析表達(dá)式的情形，再運(yùn)用分類整合思想分或和分類討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍：

（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，即，

解得： ，

因此，當(dāng)時(shí)， 軸是曲線的切線；

（2）當(dāng)時(shí)， ，從而，

∴在無零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，若，則， ，故是的零點(diǎn)； 若，則， ，故不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ，所以只需考慮在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

（Ⅰ）若或，則在無零點(diǎn)，故在單調(diào)，而，

所以當(dāng)時(shí)， 在有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， 在無零點(diǎn)；

（Ⅱ）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)， 取的最小值，最小值為．

若，即， 在無零點(diǎn)；

若，即，則在有唯一零點(diǎn)；

③若，即，由于，所以當(dāng)時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn)．