Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是線段AB中點．
（1）證明：D₁E⊥CE；
（2）求二面角D₁-EC-D的大小的余弦值；
（3）求A點到平面CD₁E的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明CE⊥面D₁DE即可證明：D₁E⊥CE；
（2）建立坐標系，利用向量法即可求二面角D₁-EC-D的大小的余弦值；
（3）根據(jù)點到平面的距離公式，即可求A點到平面CD₁E的距離．

解答： 解：（1）證明：DD₁⊥面ABCD，CE?面ABCD
所以，DD₁⊥CE，
Rt△DAE中，AD=1，AE=1，
DE=

AD2+AE2

=

2

，
同理：CE=

2

，又CD=2，CD²=CE²+DE²，
DE⊥CE，
DE∩CE=E，
所以，CE⊥面D₁DE，
又D₁E?面D₁EC，
所以，D₁E⊥CE．
（2）設平面CD₁E的法向量為

m

=（x，y，z），
由（1）得

D1E

=（1，1，-1），

CE

=（1，-1，0）

m

•

D1E

=x+y-1=0，

m

•

CE

=x-y=0
解得：x=y=

1

2

，即

m

=（

1

2

，

1

2

，1）；
又平面CDE的法向量為

DD1

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

DD1

＞=

m • DD1

| m |•| DD1 |

=

1

1 4 + 1 4 +1 •1

=

6

3

，
所以，二面角D₁-EC-D的余弦值為

6

3

，
（3））由（1）（2）知

AE

=（0，1，0），平面CD₁E的法向量為

m

=（

1

2

，

1

2

，1）
故，A點到平面CD₁E的距離為d=

| m • AE |

| m |

=

1 2

6 2

=

6

6

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的性質(zhì)，以及空間二面角和點到直線的距離的計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．