已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標準方程;
(2)過點的直線交拋物線于兩不同點,交軸于點,已知,求的值;
(3)直線交橢圓于兩不同點,在軸的射影分別為,,若點滿足,證明:點在橢圓上.
(1) ,;(2)-1;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線的焦點坐標滿足圓的方程確定等量關(guān)系,求解拋物線方程;根據(jù)橢圓的焦點和右定點也在圓上,確定橢圓方程;(2)利用已知的向量關(guān)系式進行坐標轉(zhuǎn)化求出,然后通過直線與拋物線方程聯(lián)立,借助韋達定理進行化簡并求值;(3)借助向量問題坐標化和點在橢圓上,明確點S的坐標,進而證明其在橢圓上.
試題解析:(1)由拋物線的焦點在圓上得:,
∴拋物線 . 2分
同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在
上可解得:.
得橢圓. 4分
(2)設直線的方程為,則.
聯(lián)立方程組,消去得:
且 5分
由得:
整理得:
. 8分
(3)設,則
由得;① ;②
;③ 11分
由①+②+③得
∴滿足橢圓的方程,命題得證. 13分
考點:1.拋物線和橢圓的方程;(2)直線與拋物線的位置關(guān)系;(3)向量的坐標運算.
科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年湖北省黃岡市高三下學期6月適應性考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標準方程;
(2)過點的直線交拋物線于兩不同點,交軸于點,已知,則
是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年湖北省黃岡市高三6月適應性考試理科A數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標準方程;
(2)過點的直線交拋物線于兩不同點,交軸于點,已知,求的值;
(3)直線交橢圓于兩不同點,在軸的射影分別為,,若點滿足,證明:點在橢圓上.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年湖北省黃岡市高三6月適應性考試文科A數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.
(1)求拋物線和橢圓的標準方程;
(2)過點的直線交拋物線于兩不同點,交軸于點,已知,則是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年山東省青島市高考模擬練習題(一)數(shù)學(理) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上.
(Ⅰ)求拋物線和橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點的直線交拋物線于、兩不同點,交軸于點,已知為定值.
(Ⅲ)直線交橢圓于兩不同點,在軸的射影分別為,,若點滿足:,證明:點在橢圓上.
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