Question

14．如圖，已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于點A，CD是∠ACB的平分線，交AE于點F，交AB于點D．
（Ⅰ）求證：CE•AB=AE•AC
（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求證：CF=DF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：△ACE∽△BCA，即可得出CE•AB=AE•AC
（Ⅱ）證明△ACF∽△BCD，AF=AD，即可證明CF=DF．

解答 （Ⅰ）證明：由C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于點A，
得△ACE∽△BCA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴CE•AB=AE•AC；                …（5分）
（Ⅱ）證明：∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACF=∠BCD，
∵AC為圓的切線，∴∠CAE=∠CBD，
∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD
∴△ACF∽△BCD，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=DF．…（10分）

點評 本題考查圓周角定理，弦切角定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．