Question

已知函數(shù)f（x）=m-|3x-4|，且不等式f（x）≥1的解集為{x|1≤x≤

5

3

}．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若不等式ax+1-f（x）≤0的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式f（x）≥1即|3x-4|≤m-1，由其解集為{x|1≤x≤

5

3

}，得

m＞1 1-m≤3x-4≤m-1

，解出不等式，根據(jù)不等式解集可得關(guān)于m的方程；
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，由不等式ax+1-f（x）≤0的解集為空集，得|3x-4|＞1-ax的解集為R，作出函數(shù)y=|3x-4|及y=1-ax的圖象，則y=1-ax的圖象恒在函數(shù)y=|3x-4|的下方，由此可得a的不等式．

解答： 解：（1）m-|3x-4|≥1⇒|3x-4|≤m-1，
∵不等式f（x）≥1的解集為{x|1≤x≤

5

3

}，
∴

m＞1 1-m≤3x-4≤m-1

⇒

m＞1 5-m 3 ≤x≤ m+3 3

⇒

m＞1 5-m 3 =1 m+3 3 = 5 3

⇒m=2，
∴實數(shù)m的值為2；
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，
∵不等式ax+1-f（x）≤0的解集為空集，
∴|3x-4|＞1-ax的解集為R，
作出函數(shù)y=|3x-4|及y=1-ax的圖象，如圖所示：
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，
∵不等式ax+1-f（x）≤0的解集為空集，
∴|3x-4|＞1-ax的解集為R，
作出函數(shù)y=|3x-4|及y=1-ax的圖象，如圖所示：

直線y=1-ax過定點（0，1），當(dāng)直線y=1-ax與y=-3x+4平行時，-a=-3，
當(dāng)直線y=1-ax過點（

4

3

，0）時，-a=-

3

4

，
由圖象可知，當(dāng)|3x-4|＞1-ax的解集為R時，-3≤-a＜-

3

4

，解得

3

4

＜a≤3，
∴實數(shù)a的取值范圍是

3

4

＜a≤3．

點評：本題考查絕對值不等式的求解、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．