Question

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（　�。�

• A． 20+2$\sqrt{5}$
• B． 14+4$\sqrt{5}$
• C． 26
• D． 12+2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖得幾何體是四棱錐并畫出直觀圖，由三視圖判斷出線面的位置關(guān)系，并求出幾何體的高和側(cè)面的高，分別求出各個側(cè)面和底面的面積，即可得到答案．

解答 解：由三視圖得幾何體是四棱錐P-ABCD，如圖所示：
且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，
面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，
則△PDC的高為$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以△PDC的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
因?yàn)镻E⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，
又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，
即BC⊥PC，同理可證AD⊥PD，
則兩個側(cè)面△PAD、△PBC的面積都為：$\frac{1}{2}$×2×3=3，
側(cè)面△PAB的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=6，且底面ABCD的面積為：4×2=8，
所以四棱錐P-ABCD的表面積S=2$\sqrt{5}$+2×3+6+8=20+2$\sqrt{5}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體、判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．