Question

11．求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx在區(qū)間[0，2π]上的最值．

Answer 1

分析 清楚函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極值以及端點(diǎn)的函數(shù)值，然后求解最值．

解答 解：${f^'}（x）=\frac{1}{2}+cosx-----3$分
因?yàn)閤∈[0，2π]，所以令f′（x）＞0得$x∈（{0，\frac{2π}{3}}）∪（{\frac{4π}{3}，2π}）$，
所函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}x+sinx$的增區(qū)間為$（{0，\frac{2π}{3}}），（{\frac{4π}{3}，2π}）$------------（6分）
令f′（x）＜0得$x∈（{\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}}）$，
所函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}x+sinx$的減區(qū)間為$（{\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}}）$---------------（9分）
由f（0）=0，$f（\frac{2π}{3}）=\frac{π}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$f（\frac{4π}{3}）=\frac{2π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，f（2π）=π得：
當(dāng)x=2π時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為π；
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為0．----------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．