Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用兩角和的正弦公式將sin（2x+）展開，結(jié)合二倍角的正余弦公式化簡合并，得f（x）=2sin2x-2cos2x，再利用輔助角公式化簡得f（x）=2sin（2x-），最后利用正弦函數(shù)的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)x∈，得-≤2x-≤．再由正弦函數(shù)在區(qū)間[-，]上的圖象與性質(zhì)，可得f（x）在區(qū)間上的最大值為與最小值．
解答：解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos²x=（1+cos2x）
∴f（x）=-sin（2x+）+6sinxcosx-2cos²x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1
=2sin2x-2cos2x=2sin（2x-）
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤
∴當(dāng)x=0時，sin（2x-）取得最小值-；當(dāng)x=時，sin（2x-）取得最大值1
由此可得，f（x）在區(qū)間上的最大值為f（）=2；最小值為f（0）=-2．
點評：本小題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式、三角函數(shù)的最小正周期和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性等知識，考查基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．