Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=

2

，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°．
（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△A₁BC為正三角形，A₁B=BC=2，由此能求出棱柱的高．
（2）連結(jié)AB₁，A₁B∩AB₁=O，由已知條件推導(dǎo)出∠B₁C₁O是B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角平面角，由此能求出B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角的大�。�

解答： 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=

2

，∠BAC=90°，
∴Rt△A₁AB≌Rt△A₁AC，∴A₁B=A₁C，…2 分
又∵異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，
∴A₁BC=60°，∴△A₁BC為正三角形，
∵AC=AB=

2

，∠BAC=90°，
∴A₁B=BC=

2+2

=2，…4 分
∴BB₁=

4-2

=

2

，即棱柱的高BB₁=

2

．
（2）連結(jié)AB₁，A₁B∩AB₁=O，
∵B₁O⊥A₁B，B₁O⊥AC，
∴B₁O⊥面A₁BC₁，∴∠B₁C₁O是B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角平面角，
在Rt△B₁C₁O中，B₁O=1，B₁C₁=2，
∴sin∠B₁C₁O=

B1O

B1 C1

=

1

2

，
∴∠B1C1O=

π

6

，
∴B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的高的求法，考查直線與平面所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．