已知橢圓M：＝1(a＞b＞0)的短半軸長b＝1，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6＋4.
(1)求橢圓M的方程；
(2)設直線l：x＝my＋t與橢圓M交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點C，求t的值．
（1）＋y2＝1（2）t＝或t＝3
(1)由題意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，
因為b＝1，所以b2＝a2－c2＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，所以橢圓M的方程為＋y2＝1.
(2)由消去x得(m2＋9)y2＋2mty＋t2－9＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝.①
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C(3,0)，所以·＝0.
由＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.
將x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入上式，
得(m2＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3)2＝0，
將①代入上式，解得t＝或t＝3.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為和，且||=2，
點（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點為A,離心率為,若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且·=0.

(1)求橢圓C的方程.
(2)求證:直線l過定點,并求出該定點N的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，過點F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)線段OF2(O為坐標原點)上是否存在點M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y2＝1上；
（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則正數(shù)等于(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；
(3)設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A(－2,0)，B(2,0)，點P為動點，且直線AP與直線BP的斜率之積為－.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點D(1,0)的直線l交軌跡C于不同的兩點M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應的直線方程；若不存在，請說明理由．

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