Question

已知函數f（x）=a（2cos²x+sin2x）+b（a＞0）
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若x∈[0，

π

4

]時，f（x）的值域是[1，

2

]，求實數a、b的值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）偶遇條件利用輔助角公式可得f（x）=

2

acos(2x-

π

4

)+a+b，再根據函數y=Acos（ωx+φ）的周期為

2π

ω

，可得結論．
（2）由x∈[0，

π

4

]時，利用余弦函數的定義域和值域，求得f（x）∈[2a+b，

2

a+a+b]．再根據已知f（x）的值域是[1，

2

]，求得實數a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=a（cos2x+sin2x+1）+b=

2

acos(2x-

π

4

)+a+b，∴T=

2π

2

=π．
（2）當x∈[0，

π

4

]時，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，cos（2x-

π

4

）∈[

2

2

，1]，

2

acos（2x-

π

4

）∈[a，

2

a]，

2

acos(2x-

π

4

)+a+b∈[2a+b，

2

a+a+b]．
再根據f（x）的值域是[1，

2

]，可得2a+b=1，

2

a+a+b=

2

，
解得 a=1，b=-1．

點評：本題主要考查輔助角公式，函數y=Acos（ωx+φ）的周期為

2π

ω

，余弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．