Question

設(shè)無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且a_n＞0（n∈N^*），[a_n]表示不超過實(shí)數(shù)a_n的最大整數(shù)（如[2.5]=2），記b_n=[a_n]，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ）若a₁=4，q=

1

2

，求T_n；
（Ⅱ）若對于任意不超過2014的正整數(shù)n，都有T_n=2n+1，證明：（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．
（Ⅲ）證明：S_n=T_n（n=1，2，3，…）的充分必要條件為：a₁∈N^*，q∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b₁=4，b₂=2，b₃=1，當(dāng)n＞3時(shí)，b_n=[a_n]=0，由此能求出T_n．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014），a₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014），q＜1，q2012≥

2

a2

＞

2

3

，由此能證明（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．
（Ⅲ）先證明充分性，由a₁∈N^*，q∈N^*，推導(dǎo)出S_n=T_n．再證明必要性：對于任意的n∈N^*，S_n=T_n，能推導(dǎo)出a1∈N*，q∈N*．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=4，q=

1

2

，
∴a₁=4，a₂=2，a₃=1，
且當(dāng)n＞3時(shí)，0＜a_n＜1．…（1分）
∵b_n=[a_n]，∴b₁=4，b₂=2，b₃=1，
且當(dāng)n＞3時(shí)，b_n=[a_n]=0．…（2分）
∴T_n=

4，n=1 6，n=2 7，n≥3

．…（3分）
（Ⅱ）證明：∵T_n=2n+1（n≤2014），
∴b₁=T₁=3，b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2014）．…（4分）
∵b_n=[a_n]，
∴a₁∈[3，4），a_n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（5分）
由 q=

a2

a1

，得q＜1．…（6分）
∵a2014=a2q2012∈[2，3），
∴q2012≥

2

a2

＞

2

3

，
∴

2

3

＜q2012＜1，即（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．…（8分）
（Ⅲ）證明：（充分性）∵a₁∈N^*，q∈N^*，
∴an=a1qn-1∈N^*，
∴b_n=[a_n]=a_n 對一切正整數(shù)n都成立．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=T_n．…（9分）
（必要性）∵對于任意的n∈N^*，S_n=T_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=S₁，b₁=T₁，得a₁=b₁；
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，得a_n=b_n．
對一切正整數(shù)n都有a_n=b_n．
由 bn ∈Z，a_n＞0，得對一切正整數(shù)n都有an∈N*，…（10分）
公比q=

a2

a1

為正有理數(shù)．…（11分）
假設(shè)q不屬于N^*，令q=

p

r

，其中p，r∈N* ，r≠1，且p與r的最大公約數(shù)為1．
∵a₁是一個(gè)有限整數(shù)，
∴必然存在一個(gè)整數(shù)k（k∈N），使得a₁能被r^k整除，而不能被r^k+1整除．
又∵ak+2=a1qk+1=

a1pk+1

rk+1

，且p與r的最大公約數(shù)為1．
∴a_k+2不屬于Z，這與an∈N*（n∈N^*）矛盾．
∴q∈N^*．
∴a1∈N*，q∈N*．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，考查等式成立的充要條件的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要正確理解新定義．