Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a為常數(shù)）
（1）若x∈R，求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡三角函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+a，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求周期和最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2+a+1，f（x）_min=-1+a+1=a，
∵2+a+1+a=3，
∴可解得a=0．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的化簡以及性質(zhì)的運(yùn)用；首先要利用三角函數(shù)的公式化簡解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)名稱的形式，然后利用其性質(zhì)求周期及最值等，屬于中檔題．