Question

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分（無平局），比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p(p＞

1

2

)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．
（Ⅰ）若右圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)n和甲、乙的總得分?jǐn)?shù)S、T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．請問在第一、第二兩個(gè)判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
注：“n=0”，即為“n←0”或?yàn)椤皀：=0”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從框圖知，這是一個(gè)含有兩個(gè)條件的框圖，結(jié)合題目所給的條件，程序框圖中的第一個(gè)條件框應(yīng)填M=2，第二個(gè)應(yīng)填n=6．
（Ⅱ）依題意，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽結(jié)束，又知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．用P表示出第二局比賽結(jié)束的概率，使它等于

5

9

，解出結(jié)果．
（Ⅲ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）從框圖知，這是一個(gè)含有兩個(gè)條件的框圖，結(jié)合題目所給的條件
程序框圖中的第一個(gè)條件框應(yīng)填M=2，第二個(gè)應(yīng)填n=6．
（Ⅱ）依題意，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽結(jié)束．
∴有p2+(1-p)2=

5

9

．
解得p=

2

3

或p=

1

3

．
∵p＞

1

2

，
∴p=

2

3

．
（Ⅲ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．
設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

9

．
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．
從而有P(ξ=2)=

5

9

，
P(ξ=4)=(1-

5

9

)(

5

9

)=

20

81

，
P(ξ=6)=(1-

5

9

)(1-

5

9

)•1=

16

81

．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

∴Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點(diǎn)評：本題第一問答案不唯一，如：第一個(gè)條件框填M＞1，第二個(gè)條件框填n＞5，或者第一、第二條件互換．都可以．這是一個(gè)比較新穎的問題．